En general, se suponen vibraciones de pequeña amplitud porque fuera de ellas no se consideran validas la mayoría de los modelos físicos empleados en su estudio.
formado por una masa principal m, un momento recuperador elástico de constante k y un dispositivo amortiguador de constante c, variables que definen:
Frecuencia “ f ” es el número de oscilaciones completas en la unidad de tiempo. Es la recíproca del período y viceversa, tal cual vimos al definir los parámetros del movimiento circular uniforme. Se miden en las mismas unidades mencionadas en ese momento.
Posición “y”:La posición del móvil se indica mediante la elongación “y” que es la distancia a que está el móvil del origen, el cual está ubicado en la posición central o de equilibrio. Por ello, las elongaciones pueden ser positivas, negativas o cero. La elongación será, por tanto, una función del tiempo.
Amplitud "A":En la máxima elongación o apartamiento de la posición de equilibrio a que llega el móvil.
La posición de equilibrio no implica un equilibrio estático o reposo sino un equilibrio dinámico (equilibrio porque la fuerza resultante es cero). Como veremos luego, el móvil pasa con su máxima velocidad por esta posición de equilibrio.
Clasificación de las vibraciones.
Se considera que una vibración es libre cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo.
Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, además de las fuerzas o momentos internos.
Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en: Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema. Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.
Las vibraciones son forzadas cuando existen acciones o excitaciones directamente aplicadas al sistema a lo largo del tiempo, además de las fuerzas o momentos internos.
Tanto las vibraciones libres como las forzadas pueden subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en: Sin amortiguamiento. No existe resistencia pasiva al movimiento del sistema. Con amortiguamiento. Existen resistencias pasivas al movimiento del sistema, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibracional.
Tipos de vibraciones
1. Vibración libre: ocurren cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al mismo y cuando las fuerzas externas aplicadas son inexistentes. Dicho sistema vibrará a una o más de sus frecuencias naturales o modos de vibrar que son propiedades del sistema dinámico dependientes de su distribución de masa y rigidez.
2. Vibración forzada: ocurren cuando existen excitaciones sucesivas que son aplicadas directamente sobre el sistema a lo largo del tiempo, además de las fuerzas o momentos internos, si la solicitud es armonica, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de la excitación, y si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia pudiendo generar oscilaciones peligrosamente grandes
Cada una de estos tipos de vibraciones puede subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en:
- Sin amortiguamiento: cuando no existe resistencia pasiva al movimiento del sistema.
- Con amortiguamiento: cuando existen resistencias pasivas al movimiento, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibratorio, todo tipo de amortiguamiento genera un momento retardatriz cuyo efecto es la pérdida de energía del sistema vibratorio. Dicho fenomeno aparece como parte del comportamiento interno de un material, por factores asociados al rozamiento, o por la instalacion de sistemas de amortiguamiento.
- Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.
- Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal. El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en muchos casos, a los realizados si se consideran como lineales.
2. Vibración forzada: ocurren cuando existen excitaciones sucesivas que son aplicadas directamente sobre el sistema a lo largo del tiempo, además de las fuerzas o momentos internos, si la solicitud es armonica, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de la excitación, y si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia pudiendo generar oscilaciones peligrosamente grandes
Cada una de estos tipos de vibraciones puede subdividirse, dependiendo de la existencia o no de fuerzas resistentes que amortiguan el movimiento vibratorio, en:
- Sin amortiguamiento: cuando no existe resistencia pasiva al movimiento del sistema.
- Con amortiguamiento: cuando existen resistencias pasivas al movimiento, es decir, fuerzas o momentos disipativos que amortiguan el movimiento vibratorio, todo tipo de amortiguamiento genera un momento retardatriz cuyo efecto es la pérdida de energía del sistema vibratorio. Dicho fenomeno aparece como parte del comportamiento interno de un material, por factores asociados al rozamiento, o por la instalacion de sistemas de amortiguamiento.
- Vibración lineal: si los componentes básicos de un sistema tienen un comportamiento lineal la vibración resultante es lineal.
- Vibración no lineal: se produce si alguno de sus componentes se comporta como no lineal. El comportamiento lineal de un elemento facilita su estudio, en la realidad todo elemento de comporta como no lineal pero los resultados de su estudio no difieren, en muchos casos, a los realizados si se consideran como lineales.
Sistemas de un solo grado de libertad sin amortiguamiento
El caso más sencillo de un sistema con sólo grado de libertad y sin amortización, corresponde a un muelle unido a una masa m, el cual se encuentra sometido a un esfuerzo externo causado por la fuerza de gravedad 𝐹 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡), en el cual el desplazamiento d, la velocidad v y la aceleración a son una función de la magnitud de m, así el desplazamiento total x sera debido a la acción de la fuerza externa 𝐹(𝑡), superpuesto a cualquier otro, incluso a la desviación estática originada por el propio peso de la máquina.
La fuerza que se transmite a la base toma el valor 𝑓𝑜(𝑡) = 𝑘 *x
𝑚𝑥” + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑚 (𝑡) = 𝐹𝑚 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡)
Entonces, la ecuación toma la forma de una diferencial de segundo grado que se caracteriza por la variación de la posición de la masa en función del tiempo m(x, t), teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, Donde Fm es la amplitud de fuerza y ω la frecuencia natural de la fuerza excitadora, k la rigidez del muelle y m la masa montada sobre el aislador en kg, simplificando el calculo de x es:
Donde la expresión elevada al cuadrado se hace negativa si ω/ωn >1. debido al cambio en la pendiente entre la dirección de la fuerza aplicada y el movimiento de la masa;
1. para ω/ωn <1, la masa m se mueve hacia abajo si el sentido 𝐹𝑚∗𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) se dirige hacia abajo
2. ω/ωn >1, la masa m se mueve hacia abajo cuando 𝐹𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) se mueve en sentido contrario.
Esto indica que la fuerza transmitida a la base, o está en fase o en oposición respecto de la fuerza aplicada según ω/ωn sea mayor o menor que la unidad.
La fuerza experimentada en la unión es similar a la fuerza a la que se somete la masa. en términos de desplazamiento la deformación que experimentaría el resorte es exactamente igual a la que se presenta en la unión.
El comportamiento se mantendrá aun que la frecuencia de la fuerza excitadora se aproxima a la frecuencia natural, ωn, instante en que la fuerza que el muelle aplica sobre la masa va aumentando, hasta que la relación toma el valor unitario, donde dicha fuerza se hace infinitamente grande.
Provocando un estiramiento infinito del muelle, hecho que es físicamente imposible. En la práctica, cuando el sistema se aproxima a las condiciones de resonancia los muelles o estructuras vibrantes se someten a esfuerzos cada vez mayores, lo que podría derivar en rotura.
La fuerza que se transmite a la base toma el valor 𝑓𝑜(𝑡) = 𝑘 *x
𝑚𝑥” + 𝑘𝑥 = 𝐹𝑚 (𝑡) = 𝐹𝑚 𝑐𝑜𝑠 (𝑤𝑡)
Entonces, la ecuación toma la forma de una diferencial de segundo grado que se caracteriza por la variación de la posición de la masa en función del tiempo m(x, t), teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, Donde Fm es la amplitud de fuerza y ω la frecuencia natural de la fuerza excitadora, k la rigidez del muelle y m la masa montada sobre el aislador en kg, simplificando el calculo de x es: Donde la expresión elevada al cuadrado se hace negativa si ω/ωn >1. debido al cambio en la pendiente entre la dirección de la fuerza aplicada y el movimiento de la masa;
1. para ω/ωn <1, la masa m se mueve hacia abajo si el sentido 𝐹𝑚∗𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) se dirige hacia abajo
2. ω/ωn >1, la masa m se mueve hacia abajo cuando 𝐹𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) se mueve en sentido contrario.
Esto indica que la fuerza transmitida a la base, o está en fase o en oposición respecto de la fuerza aplicada según ω/ωn sea mayor o menor que la unidad.
La fuerza experimentada en la unión es similar a la fuerza a la que se somete la masa. en términos de desplazamiento la deformación que experimentaría el resorte es exactamente igual a la que se presenta en la unión.
El comportamiento se mantendrá aun que la frecuencia de la fuerza excitadora se aproxima a la frecuencia natural, ωn, instante en que la fuerza que el muelle aplica sobre la masa va aumentando, hasta que la relación toma el valor unitario, donde dicha fuerza se hace infinitamente grande.
Provocando un estiramiento infinito del muelle, hecho que es físicamente imposible. En la práctica, cuando el sistema se aproxima a las condiciones de resonancia los muelles o estructuras vibrantes se someten a esfuerzos cada vez mayores, lo que podría derivar en rotura.
Factor que hace primordial, conocer con detalle el comportamiento del sistema en el entorno de la resonancia. Si nos situamos en el lugar donde la frecuencia angular de la fuerza de excitación supera la frecuencia natural del sistema, entonces la fuerza aplicada en la unión romperá el muelle
Factor que hace primordial, conocer con detalle el comportamiento del sistema en el entorno de la resonancia. Si nos situamos en el lugar donde la frecuencia angular de la fuerza de excitación supera la frecuencia natural del sistema, entonces la fuerza aplicada en la unión romperá el muelle
Aislamiento de vibraciones en sistemas de un solo grado de libertad con amortiguamiento
Se analiza un amortiguador unido a una masa m, el cual es excitado por una fuerza F y apoyada sobre un elemento elástico de rigidez k y amortiguamiento c. Ahora se tiene un sistema amortiguado, por lo que el aislador se comporta de un modo diferente. El amortiguador limita la amplitud de la vibración de la masa a todas las frecuencias.
La fuerza del muelle es kx, se opone al desplazamiento y la fuerza del amortiguador, cdx/dt, se opone a la velocidad ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, 𝐹(𝑡)= 𝐹𝑠𝑒𝑛(ω𝑡), es de la forma:
𝑚𝑥" + 𝑐𝑥′ + 𝑘𝑥 = 𝐹
El polinomio algebraico obtenido de los coeficientes de las derivadas de la ecuación diferencial homogenea es de la forma
2𝑚𝑟 + 𝑐𝑟 + 𝑘 = 0
Para minimizar la fuerza transmitida por la oscilación de la masa a través de unión al resorte, la frecuencia natural del sistema debe ser mucho menor que la menor frecuencia de excitación; ya que cuanto menor es la razón de cambio existen entre las variables con relación al tiempo. si las condiciones del problema permiten establecer relaciones entre las variables, entonces, mediante derivación, buscando hallar una relación entre la rapidez de variación por unidad de cambio del tiempo entre las variables. puede usarse la siguiente regla
primer paso: construir una figura que sea una interpretación lo mas simple del sistema a analizar
segundo paso: Aislar el sistema de fuerzas actuantes del entorno exterior
tercer paso: obtener una relación entre las variables
cuarto paso: derivar con respecto al tiempo
quinto paso: hacer una lista de las cantidades dadas y de las buscadas
quinto paso: sustituir el resultado de la derivacion1. Aumentar la masa del sistema, buscando aumentar La inercia del bloque, la cual es proporcional a la masa del objeto. Si un objeto se mueve a una velocidad constante, se mantendrá de esa manera a menos que actúe sobre él una fuerza externa cuyo efecto sea reducir el movimiento, bajar el centro de gravedad, disminuir los efectos de una desigualdad en la distribución de pesos y estabilizar el sistema de soportes elásticos se monta con mucha frecuencia
2. Disminuir la rigidez de los sistemas aisladores.
3. Aumentar la rigidez del aislamiento a medida que la masa se hace cada vez mayor, haciendo que la flexión estática se mantenga constante. Los aisladores convencionales se especifican en función de la carga que pueden soportar y de la deflexión estática que correspondiente.
Sistema masa resorte
La fuerza del muelle es kx, se opone al desplazamiento y la fuerza del amortiguador, cdx/dt, se opone a la velocidad ecuación diferencial del movimiento, teniendo en cuenta que la fuerza es de tipo periódico, 𝐹(𝑡)= 𝐹𝑠𝑒𝑛(ω𝑡), es de la forma:
𝑚𝑥" + 𝑐𝑥′ + 𝑘𝑥 = 𝐹
El polinomio algebraico obtenido de los coeficientes de las derivadas de la ecuación diferencial homogenea es de la forma
2𝑚𝑟 + 𝑐𝑟 + 𝑘 = 0
Para minimizar la fuerza transmitida por la oscilación de la masa a través de unión al resorte, la frecuencia natural del sistema debe ser mucho menor que la menor frecuencia de excitación; ya que cuanto menor es la razón de cambio existen entre las variables con relación al tiempo. si las condiciones del problema permiten establecer relaciones entre las variables, entonces, mediante derivación, buscando hallar una relación entre la rapidez de variación por unidad de cambio del tiempo entre las variables. puede usarse la siguiente regla
segundo paso: Aislar el sistema de fuerzas actuantes del entorno exterior
cuarto paso: derivar con respecto al tiempo
quinto paso: hacer una lista de las cantidades dadas y de las buscadas
quinto paso: sustituir el resultado de la derivacion1. Aumentar la masa del sistema, buscando aumentar La inercia del bloque, la cual es proporcional a la masa del objeto. Si un objeto se mueve a una velocidad constante, se mantendrá de esa manera a menos que actúe sobre él una fuerza externa cuyo efecto sea reducir el movimiento, bajar el centro de gravedad, disminuir los efectos de una desigualdad en la distribución de pesos y estabilizar el sistema de soportes elásticos se monta con mucha frecuencia
2. Disminuir la rigidez de los sistemas aisladores.
3. Aumentar la rigidez del aislamiento a medida que la masa se hace cada vez mayor, haciendo que la flexión estática se mantenga constante. Los aisladores convencionales se especifican en función de la carga que pueden soportar y de la deflexión estática que correspondiente.
Sistema masa resorte
Se consideran las siguientes hipótesis:
a) En t_0=0 La masa actúa normalmente de forma vertical siguiendo la trayectoria del campo vectorial de la gravedad terrestre, sin rozamiento, que permite únicamente desplazamientos verticales, e impide otros desplazamientos y giros.
b) El muelle tiene masa despreciable frente a la masa principal del sistema y su fuerza recuperadora elástica es proporcional a su deformación.
c) El dispositivo amortiguador tiene sus masas móviles despreciables frente a la masa principal del sistema y está basado en un rozamiento de tipo viscoso, con fuerza de rozamiento opuesto a la velocidad y proporcional a ella.
d) El sistema se supone situado en el vacío. La ecuación del equilibrio dinámico permite establecer la ecuación diferencial del movimiento
mx' '+cx'+kx = F
Donde F es la fuerza aplicada directamente sobre el sistema y las condiciones iniciales con las condiciones m>0, c>0 y m>0
mx’’ la fuerza de inercia.
cx’ la fuerza amortiguadora de tipo viscoso y
kx la fuerza elástica,
Movimiento armónico compuesto
Un movimiento armónico complejo es un movimiento superposición lineal de movimientos armónicos simples. Aunque un movimiento armónico simple es siempre periódico, un movimiento armónico complejo no necesariamente es periódico, aunque sí puede ser analizado mediante análisis armónico de Fourier. Un movimiento armónico complejo es periódico sólo si es la combinación de movimientos armónicos simples cuyas frecuencias son todas múltiplos racionales de una frecuencia base.
Características cinemáticas del M.A.C.
Esta definido por cualquier sistema que presenta oscilaciones armónicas sujeto a restricciones de desplazamiento vertical, así, no se consideran o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma, lo cual permite simplificar el numero de grados de libertad que se presentan, ya que únicamente se consideraran definidas por las elongaciones Xi
O en notación matricial
Donde:
M, es la llamada matriz de masa que representa la inercia del sistema.
K, es la llamada matriz de rigidez que representa la intensidad de las fuerzas de recuperación y son tanto mayores cuanto más rígido sea el sistema.
En el caso más general de un sistema con amortiguamiento lineal y fuerza de excitación interna la ecuación de movimiento es más general, es dela forma
Donde, omega sub i son las frecuencias propias del sistema, y phi sub i corresponde a las fases iniciales. Cada uno de los vectores columna de la matriz A se llama modo propio de vibración, y los Ci son las amplitudes relativas de cada modo propio. Puede verse que para n = 1 un movimiento armónico complejo es simplemente una suma de movimientos armónicos simples:
La velocidad y la aceleración de un movimiento armónico complejo general se obtienen derivando respecto al tiempo y también resultan ser movimientos armónicos complejos, composición de movimientos de las misma frecuencias propias. Aunque ahora no tienen por qué existir puntos de velocidad cero, como sucede en el movimiento armónico simple.
Periodicidad
Una función es periódica si verifica la condición f(x+T)=F(x) ;donde T es un número que corresponde al periodo de la función; el menor número real positivo T que satisface dicha condición se conoce como periodo fundamental. en un contexto físico, las ondas periódicas son aquellas ondas que muestran periodicidad respecto del tiempo, es decir, describen ciclos repetitivos. En una onda periódica se cumple:
Una función se denomina periódica si para cualquier frecuencias su cociente es un número racional, bajo la restricción que los números racionales están definidos como el conjunto de funciones cuya primera derivada es cero o conjunto nulo, la probabilidad de que el cociente de todas las frecuencias sea un número racional es cero y, por tanto, los movimientos armónicos complejos reales son cuasiperiódicos, pero no periódicos.
Ecuación del movimiento
El movimiento armónico complejo de cualquier sistema que presenta oscilaciones armónicas sujeto a restricciones de desplazamiento vertical, así, no se consideran o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma, lo cual permite simplificar el numero de grados de libertad que se presentan, ya que únicamente se consideraran definidas por las elongaciones Xi
Donde:
M, es la llamada matriz de masa que representa la inercia del sistema.
K, es la llamada matriz de rigidez que representa la intensidad de las fuerzas de recuperación y son tanto mayores cuanto más rígido sea el sistema.
En el caso más general de un sistema con amortiguamiento lineal y fuerza de excitación interna la ecuación de movimiento es más general, es dela forma
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